Exercice 1: Soit (Un) la suite définie par Uo = 1 et Un+1 = Un +n+1 Démontrer par récurrence que Un = 1/2n²+1/2n+ 1 pour tout n E N

Bonjour, voici la réponse à ton exercice :

· Initialisation :

Pour [tex]n[/tex] = 0, on a Uo = 1 , donc la propriété est vraie au rang 0.

Supposons pour un [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] fixé que la propriété soit vraie. Démontrons par récurrence au rang [tex]n + 1[/tex] que ça l'est.

Pour [tex]n\in \mathbb{N}[/tex], on a :

[tex]U_{n+1} = \frac{1}{2}(n+1)^2 + \frac{1}{2}(n+1) + 1[/tex]

⇔ [tex]U_{n+1} = \frac{1}{2}(n^2 + 2n + 1) + \frac{1}{2}(n + 1) + 1[/tex]

⇔ [tex]U_{n+1} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{3}{2}n + 2[/tex]

⇔ [tex]U_{n+1} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n + n + 2[/tex]

⇔ [tex]U_{n + 1} = U_n + n + 1 \ par \ hypothese \ de \ recurrence[/tex]

Et c'est bien ce qui est définit dans l'énoncé, donc la propriété est héréditaire et vraie [tex]\forall n\in \mathbb{N}[/tex].

En espérant t'avoir aidé au maximum !