prouvez que f(x)=x² est décroissante sur - l'infini 0 et croissante sur 0 - l'infini

f ' (x)=2x  positif sur 0;+infini  et négatif sur -infini;0
donc f(x) croissante sur (0;+infini(  et décroissante sur )-infini;0)

La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole de sommet
S(0 ; 0).
Elle admet donc un minimum en 0 égal à 0.

Soient x₁ et x₂ deux réels tels que x₁ < x₂ < 0

Alors 
f(x₁) - f(x₂) = x₁² - x₂² = (x₁ - x₂)(x₁ + x₂)

Or x₁ - x₂  < 0 car x₁ < x₂ et x₁ + x₂ < 0 car x₁ et x₂ sont strictement négatifs.

(x₁ - x₂)(x₁ + x₂) est donc positif.

Déduction : f(x₁) - f(x₂) > 0 donc f(x₁) > f(x₂)

x₁ < x₂ < 0 ⇔ f(x₁) > f(x₂)
donc la fonction f est strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 [

Par définition, la parabole admet comme axe de symétrie l'axe des ordonnées, donc f est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [