Exercice 4 (4 pts) Soit n un entier naturel. a. Démontrer que si n est impair alors 8 divise n²-1. b. Le nombre 1 + 3 est-il toujours pair ? Justifier. Je suis

Bonsoir,

[tex]\textnormal{\textbf{Question A :}}[/tex]

[tex]\textnormal{Un nombre impair s'\'ecrit sous la forme : \boxed{2k + 1} }[/tex]

[tex]n^2 - 1 \iff (2k + 1)^2 -1 = 4k^2 + 4k + 1 -1[/tex]

                                          [tex]= 4k^2 + 4k[/tex]

                                          [tex]= 4 \times (k + 1) \times k[/tex]

[tex]\textnormal{Le produit de deux entiers cons\'ecutifs est pair : }[/tex]

[tex]4 \times (k+1) \times k \iff 4 \times 2k' = \boxed{8k'}[/tex]

[tex]\textnormal{Donc, $8 | n^2 -1$}[/tex]

[tex]\textnormal{\textbf{Question B :}}[/tex]

[tex]\textnormal{Un entier impair \'elev\'ee \`a la puissance n est toujours impair avec $n \in \mathbb{N}$ }[/tex]

[tex]\textnormal{Donc, $3^n$ est impair alors $1 + 3^n$ est pair }[/tex]

[tex]\textnormal{Donc, \ 3^n est impair alors 1 + 3^n est pair}[/tex]