2. Montrer par l'absurde que l'équation. 2x ^ 3 + x ^ 2 - x - 11 = 0 n'a pas de solutions dans Z. ​

Bonjour,

On suppose que f(x) = 2x³ + x² - x - 11 = 0 admet une solution dans Z .

on a donc f'(x) = 6x² + 2x - 1

On pose f'(x) = 0 ⇔   = 0

Δ = b² - 4ac = 4 - 4 × 6 ×( -1 ) =  4 + 24 = 28

x₁ = (-b + √Δ)/2a = (-2 + √28)/12 = (-1 + √7)/6

x₂ = = (-b - √Δ)/2a = (-2 -√28)/12 = (-1 - √7)/6  

Tableau de signe de la dérivée :

x      |-∞               x₁                  x₂        +∞

f'(x) |          +       0          -        0      +

f(x)  |         ↑       -10,47    ↓      -11,5    ↑

Puisque la fonction f(x) est <0 sur l'intervalle  ] - ∞ ; (-1 + √7)/6 ] il n'y a pas de solution sur l'intervalle sur  ] - ∞ ; 0 ] ⇒ Nous avons montré l'absurdité, l'équation 2x³ + x² - x - 11 = 0 n'admet donc pas de solutions dans Z (elle en admet cependant une dans R).